初中数学奥数题和答案

更新时间:2019-06-15    来源:中考    手机版     字体:

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【导语】想要学好奥数吗?那么你一定要好好练习,多做题就迎刃而解,下面本站为大家分享一套题目。



  一、选择题(每题1分,共10分)

  1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么()

  A.a,b都是0

  B.a,b之一是0

  C.a,b互为相反数

  D.a,b互为倒数

  答案:C

  解析:令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此a、b互为相反数。

  2.下面的说法中正确的是()

  A.单项式与单项式的和是单项式

  B.单项式与单项式的和是多项式

  C.多项式与多项式的和是多项式

  D.整式与整式的和是整式

  答案:D

  解析:x2,x3都是单项式.两个单项式x3,x2之和为x3+x2是多项式,排除A。两个单项式x2,2x2之和为3x2是单项式,排除B。两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式,排除C,因此选D。

  3.下面说法中不正确的是()

  A.有最小的自然数

  B.没有最小的正有理数

  C.没有的负整数

  D.没有的非负数

  答案:C

  解析:的负整数是-1,故C错误。

  4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么()

  A.a,b同号

  B.a,b异号

  C.a>0

  D.b>0

  答案:D

  5.大于-π并且不是自然数的整数有()

  A.2个

  B.3个

  C.4个

  D.无数个

  答案:C

  解析:在数轴上容易看出:在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2,

  -1,0共4个.选C。

  6.有四种说法:

  甲.正数的平方不一定大于它本身;

  乙.正数的立方不一定大于它本身;

  丙.负数的平方不一定大于它本身;

  丁.负数的立方不一定大于它本身。

  这四种说法中,不正确的说法的个数是()

  A.0个

  B.1个

  C.2个

  D.3个

  答案:B

  解析:负数的平方是正数,所以一定大于它本身,故丙错误。

  7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是()

  A.a大于-a

  B.a小于-a

  C.a大于-a或a小于-a

  D.a不一定大于-a

  答案:D

  解析:令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D。

  8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边()

  A.乘以同一个数

  B.乘以同一个整式

  C.加上同一个代数式

  D.都加上1

  答案:D

  解析:对方程同解变形,要求方程两边同乘不等于0的数,所以排除A。我们考察方程x-2=0,易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1,得(x-1)(x-2)=0,其根为x=1及x=2,不与原方程同解,排除B。同理应排除C.事实上方程两边同时加上一个常数,新方程与原方程同解,对D,这里所加常数为1,因此选D.

  9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()

  A.一样多

  B.多了

  C.少了

  D.多少都可能

  答案:C

  解析:设杯中原有水量为a,依题意可得,

  第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a;

  第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a;

  第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1,

  所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C。

  10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将()

  A.增多

  B.减少

  C.不变D.增多、减少都有可能

  答案:A

  二、填空题(每题1分,共10分)

  1.198919902-198919892=______。

  答案:198919902-198919892

  =(19891990+19891989)×(19891990-19891989)

  =(19891990+19891989)×1=39783979。

  解析:利用公式a2-b2=(a+b)(a-b)计算。

  2.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=______。

  答案:1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000

  =(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)

  =-2500。

  解析:本题运用了运算当中的结合律。

  3.当a=-0.2,b=0.04时,代数式a2-b的值是______。

  答案:0

  解析:原式==(-0.2)2-0.04=0。把已知条件代入代数式计算即可。

  4.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是______千克。

  答案:45(千克)

  解析:食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%(千克),

  设蒸发变成含盐为40%的水重x克,

  即60×30%=40%x

  解得:x=45(千克)。

  遇到这一类问题,我们要找不变量,本题中盐的含量是一个不变量,通过它列出等式进行计算。

  三、解答题

  1.甲乙两人每年收入相等,甲每年储蓄全年收入的,乙每月比甲多开支100元,三年后负债600元,求每人每年收入多少?

  答案:解:设每人每年收入x元,甲每年开支4/5x元,依题意有:

  3(4/5x+1200)=3x+600

  即(3-12/5)x=3600-600

  解得,x=5000

  答:每人每年收入5000元

  所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24。

  4.一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程。

  答案:设上坡路程为x千米,下坡路程为y千米.依题意则:

  由②有2x+y=20,③

  由①有y=12-x,将之代入③得2x+12-x=20。

  所以x=8(千米),于是y=4(千米)。

  答:上坡路程为8千米,下坡路程为4千米。

  5.求和:

  。

  答案:第n项为

  所以

  。

  6.证明:质数p除以30所得的余数一定不是合数。

  证明:设p=30q+r,0≤r<30,

  因为p为质数,故r≠0,即0<r<30。

  假设r为合数,由于r<30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5。

  再由p=30q+r知,当r的最小质约数为2,3,5时,p不是质数,矛盾。

  所以,r一定不是合数。

  解:设

  由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即

  (4-m)pq+1=2(p+q)。

  可知m<4.由①,m>0,且为整数,所以m=1,2,3.下面分别研究p,q。

  (1)若m=1时,有

  解得p=1,q=1,与已知不符,舍去.

  (2)若m=2时,有

  因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2时无解.

  (3)若m=3时,有

  解之得

  故p+q=8。

  初中奥数题试题二

  一、选择题

  1.数1是()

  A.最小整数

  B.最小正数

  C.最小自然数

  D.最小有理数

  答案:C

  解析:整数无最小数,排除A;正数无最小数,排除B;有理数无最小数,排除D。1是最小自然数,正确,故选C。

  2.a为有理数,则一定成立的关系式是()

  A.7a>a

  B.7+a>a

  C.7+a>7

  D.|a|≥7

  答案:B

  解析:若a=0,7×0=0排除A;7+0=7排除C;|0|<7排除D,事实上因为7>0,必有7+a>0+a=a.选B。

  3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是()

  A.6.1632

  B.6.2832

  C.6.5132

  D.5.3692

  答案:B

  解析:3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)

  =3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416

  =6.2832,选B。

  4.在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个数中,的数与绝对值的那个数的乘积是()

  A.225

  B.0.15

  C.0.0001

  D.1

  答案:B

  解析:-4,-1,-2.5,-0.01与-15中的数是-0.01,绝对值的数是-15,(-0.01)×(-15)=0.15,选B。

  二、填空题

  1.计算:(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。

  答案:(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1。

  2.求值:(-1991)-|3-|-31||=______。

  答案:(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。

  3.n为正整数,1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。则n的最小值等于______。

  答案:4

  解析:1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为0000,即1990n末位至少要4个0,所以n的最小值为4。

  4.不超过(-1.7)2的整数是______。

  答案:2

  解析:(-1.7)2=2.89,不超过2.89的整数为2。

  5.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是______。

  答案:29

  解析:个位数比十位数大7的两位数有18,29,其中只有29是质数。

  三、解答题

  1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值。

  答案:原式

  =2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x×1+3×1-2x+2000=2003。

  2.某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元,才能获得利润?利润是多少元?

  答案:原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利(4+x)元,但每天卖出为(100-10x)件。

  如果设每天获利为y元,

  则y=(4+x)(100-10x)

  =400+100x-40x-10x2

  =-10(x2-6x+9)+90+400

  =-10(x-3)2+490。

  所以当x=3时,y=490元,即每件提价3元,每天获利为490元。

  3.如图1-96所示,已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°。求证:DA⊥AB。

  证明:∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°,

  ∴∠ADC+∠BCD=180°,

  ∴AD∥BC。

  又∵AB⊥BC,

  ∴AB⊥AD。

  4.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解。

  答案:|x||y|-2|x|+|y|=4,即|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2,

  所以(|x|+1)(|y|-2)=2。

  因为|x|+1>0,且x,y都是整数,所以

  5.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少?(一年期定期储蓄年利率为5.22%)

  答案:设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则

  因为y=35000-x,

  所以x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761,

  所以1.3433x+48755-1.393x=47761,

  所以0.0497x=994,

  所以x=20000(元),y=35000-20000=15000(元)。

  6.对k,m的哪些值,方程组至少有一组解?

  答案:因为(k-1)x=m-4,①

  m为一切实数时,方程组有解.当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解。

  当k=1,m≠4时,①无解。

  所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解。

  初中奥数题试题三

  一、选择题

  1.下面给出的四对单项式中,是同类项的一对是()

  A.x2y与-3x2z

  B.3.22m2n3与n3m2

  C.0.2a2b与0.2ab2

  D.11abc与ab

  答案:B

  解析:字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。

  2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()

  A.3x-3

  B.x-1

  C.3x-1

  D.x-3

  答案:C

  解析:(x-1)-(1-x)+(x+1)

  =x-1-1+x+x+1=3x-1,选C。

  3.两个10次多项式的和是()

  A.20次多项式

  B.10次多项式

  C.100次多项式

  D.不高于10次的多项式

  答案:D

  解析:多项式x10+x与-x10+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式,因此排除了A、B、C,选D。

  4.若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是()

  A.a,-1,1,-a

  B.-a,-1,1,a

  C.-1,-a,a,1

  D.-1,a,1,-a

  答案:A

  解析:由a+1<0,知a<-1,所以-a>1。于是由小到大的排列次序应是a<-1<1<-a,选A。

  5.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5),则()

  A.c>b>a

  B.c>a>b

  C.a>b>c

  D.b>c>a

  答案:B

  解析:易见a=-123.4+123.5=0.1,b=123.4-123.5<0,c=123.4-(-123.5)>123.4>a,所以b<a<c,选B。

  6.若a<0,b>0,且|a|<|b|,那么下列式子中结果是正数的是()

  A.(a-b)(ab+a)

  B.(a+b)(a-b)

  C.(a+b)(ab+a)

  D.(ab-b)(a+b)

  答案:A

  因为a<0,b>0.所以|a|=-a,|b|=b.由于|a|<|b|得-a<b,因此a+b>0,a-b<0。ab+a<0,ab-b<0。所以应有(a-b)(ab+a)>0成立,选A。

  7.从2a+5b减去4a-4b的一半,应当得到()

  A.4a-b

  B.b-a

  C.a-9b

  D.7b

  答案:D

  解析:=2a+5b-2a+2b=7b,选D。

  8.a,b,c,m都是有理数,并且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c()

  A.互为相反数

  B.互为倒数

  C.互为负倒数

  D.相等

  答案:A

  解析:因为a+2b+3c=m=a+b+2c,所以b+c=0,即b,c互为相反数,选A。

  9.张梅写出了五个有理数,前三个有理数的平均值为15,后两个有理数的平均值是10,那么张梅写出的五个有理数的平均值是()

  A.5

  B.8

  C.12

  D.13

  答案:D

  解析:前三个数之和=15×3,后两个数之和=10×2。所以五个有理数的平均数为(45+20)÷5=13,选D。

  二、填空题(每题1分,共10分)

  1.2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______。

  答案:29

  解析:前12个数,每四个一组,每组之和都是0.所以总和为14+15=29。

  2.若P=a2+3ab+b2,Q=a2-3ab+b2,则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中,化简后,是______。

  答案:12ab。

  解析:因为P-[Q-2P-(-P-Q)]

  =P-Q+2P+(-P-Q)

  =P-Q+2P-P-Q

  =2P-2Q=2(P-Q)

  以P=a2+3ab+b2,Q=a2-3ab+b2代入,

  原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)]

  =2(6ab)=12ab。

  3.小华写出四个有理数,其中每三数之和分别为2,17,-1,-3,那么小华写出的四个有理数的乘积等于______。

  答案:-1728。

  解析:设这四个有理数为a、b、c、d,则

  有3(a+b+c+d)=15,即a+b+c+d=5。

  分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3,-12,6,8,所以,这四个有理数的乘积=3×(-12)×6×8=-1728。

  4.一种小麦磨成面粉后,重量要减少15%,为了得到4250公斤面粉,至少需要______公斤的小麦。

  答案:5000

  解析:设需要x公斤的小麦,则有

  x(x-15%)=4250

  x=5000

  三、解答题

  答案:原式化简得6(a-1)x=3-6b+4ab,当a≠1时,

  答案:

  3.液态农药一桶,倒出8升后用水灌满,再倒出混合溶液4升,再用水灌满,这时农药的浓度为72%,求桶的容量。

  答案:

  去分母、化简得7x2-300x+800=0,即7x-20)(x-40)=0,

  4.6.设P是△ABC内一点.求:P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。

  答案:

  如图1-105所示。在△PBC中有BC<PB+PC,①

  延长BP交AC于D.易证PB+PC<AB+AC,②

  由①,②BC<PB+PC<AB+AC,③

  同理AC<PA+PC<AC+BC,④

  AB<PA+PB<AC+AB。⑤

  ③+④+⑤得AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA)。

  所以。

  5.甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行24千米,甲经过9小时到东站,乙经过16小时到西站,求两站距离。

  答案:设甲步行速度为x千米/小时,乙步行速度为y千米/小时,则所求距离为(9x+16y)千米;

  依题意得:

  由①得16y2=9x2,③

  由②得16y=24+9x,将之代入③得

  即(24+9x)2=(12x)2.解之得

  于是

  所以两站距离为9×8+16×6=168(千米)。

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