高三数学必修四知识点总结|高三数学必修四知识点整理

更新时间:2019-05-19    来源:高三    手机版     字体:

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  【一】

  两个复数相等的定义:

  如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di

  a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0

  a=0,b=0.

  复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。

  复数相等特别提醒:

  一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

  解复数相等问题的方法步骤:

  (1)把给的复数化成复数的标准形式;

  (2)根据复数相等的充要条件解之。

  【二】

  复数的概念:

  形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。

  复数的表示:

  复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。

  复数的几何意义:

  (1)复平面、实轴、虚轴:

  点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数

  (2)复数的几何意义:复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即

  这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。

  这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。

  复数的模:

  复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|=

  虚数单位i:

  (1)它的平方等于-1,即i2=-1;

  (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立

  (3)i与-1的关系:i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i。

  (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1。

  复数模的性质:

  复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:

  对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。

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